RESUMEN DEL TEMA 37 DEL TEMARIO OFICIAL DE LA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA
Índice:
- Introducción.
- Proporcionalidad de segmentos.
- Teorema de Thales.
- Consecuencias del teorema de Thales.
- Construcciones geométricas.
- Concepto y propiedades de semejanza.
- Triángulos semejantes.
- Criterios de semejanza de triángulos.
- Relaciones métricas derivadas de la semejanza.
- Cuaterna armónica.
- Rectas antiparalelas.
- Relaciones métricas en el triángulo rectángulo. Teoremas del cateto y de la altura.
- Construcción de medias proporcionales.
- Teorema de Pitágoras.
- Generalización del teorema de Pitágoras.
- Suma y diferencia de los cuadrados de los lados de un triángulo.
- Lugares geométricos de puntos cuya suma o diferencia de cuadrados de distancia a dos puntos del plano es constante.
- Razones trigonométricas.
- Funciones trigonométricas.
- Relaciones entre las funciones trigonométricas de un ángulo agudo.
- Funciones de ángulos complementarios. Valores particulares notables.
- Funciones de ángulos suplementarios.
- Otras relaciones entre razones trigonométricas.
- Conclusión.
- Orientaciones para la elaboración de los aspectos didácticos.
- Bibliografía.
1.- INTRODUCCIÓN.
Existen diversas maneras de construir en Geometría la teoría de la proporcionalidad de segmentos. La teoría dada por Euclides y, en ultimo termino, su demostración del teorema fundamental de las proporciones (o teorema de Thales) exigen, para hacerlas rigurosas, el recurso a algún axioma de continuidad.
Kupffer parece haber sido el primero en establecer una teoría de los segmentos proporcionales independiente de la continuidad en 1893; sin embargo, parte de su teoría no es satisfactoria.
Mollerup en 1903, basándose en los axiomas de Hilbert y sin utilizar la continuidad, da una teoría de los segmentos proporcionales, en la que no hace uso del cálculo de segmentos. Hilbert, por su parte, ya desde la primera edición de los “Fundamentos de la Geometría”, admitiendo los axiomas planos de todos los grupos, salvo los de continuidad, establece la teoría euclídea de las proporciones, basándose en el Teorema de Pascal (Teorema de Pappus) y en el cálculo de segmentos. En la octava edición de los Fundamentos, P. Bernays, el conocido discípulo de Hilbert, añadió una teoría simplificada de las proporciones, independiente del axioma de Arquímedes, que utiliza las propiedades de la igualdad y suma de segmentos, que Hilbert utiliza.
Adoptaremos para el desarrollo del tema el punto de vista que pudiéramos llamar clásico, aunque sin ignorar que existen esos otros que hemos mencionado.
2.- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS.
2.1.- TEOREMA DE THALES.
Teorema: Si dos rectas r y r’ se cortan por un sistema de paralelas, los segmentos determinados por los puntos de intersección sobre una de ellas son proporcionales a los determinados por los puntos correspondientes en la otra.
Demostración clásica:
- Probemos que existe correspondencia en la igualdad.
Proposición 1: Si dos rectas m y n son cortadas por un sistema de paralelas, a segmentos iguales en una de ellas, corresponden segmentos iguales en la otra. Es decir, si A, B, C, D ∈m y A’, B’, C’, D’ ∈ n con AB = CD ⇒A’B’ = C’D’.
En efecto, si trazamos los segmentos A’R paralelo a m y C’S paralelo a m, A’R=AB y C’S=CD (por partes de paralelas comprendidas entre paralelas). Entonces A’R=C’S y como además los triángulos A’B’R y C’D’S tienen sus ángulos correspondientes iguales, son iguales, y por tanto, A’B’=C’D’.
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Demostración:
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2.2.- CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE THALES:
Teorema 1: Toda paralela a un lado de un triángulo divide a los otros dos en segmentos proporcionales.
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Recíproco: Toda recta que corte a dos lados de un triángulo, dividiéndolo en segmentos proporcionales, es paralela al tercer lado.
Teorema 2: Los rayos de un haz cortan a dos rectas paralelas cualesquiera, en segmentos proporcionales.
Recíproco: Si varias secantes AA’, BB’, CC’,…. cortan a dos rectas paralelas, produciendo sobre ellas segmentos proporcionales, dichas secantes concurren en un punto.
2.3.-CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS.
A partir del teorema de Thales, es posible dar algunas construcciones geométricas:
- Construcción del cuarto proporcional a tres segmentos dados.
- Construcción de un tercero proporcional.
- División de un segmento en partes proporcionales a dos segmentos dados.
- Determinación de puntos de una recta por su razón de distancias a dos de ellas.
3.- CONCEPTO Y PROPIEDADES DE LA SEMEJANZA.
Dos figuras cuyos puntos se pueda establecer una correspondencia biunívoca que cumpla las siguientes condiciones:
– A puntos alineados corresponden puntos alineados en igual orden.
– Los segmentos homólogos son proporcionales.
– Los ángulos homólogos son iguales.
4.- TRIÁNGULOS SEMEJANTES.
Definición: Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son proporcionales.
Para determinar si dos triángulos dados son semejantes bastaría con comprobar si verifican estas condiciones. Pero existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de casos de semejanza de triángulos, o también, criterios de semejanza de triángulos.
4.1.- CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
- Primer criterio: Dos triángulos con dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual, son semejantes.
- Segundo criterio: Dos triángulos con los lados proporcionales son semejantes.
- Tercer criterio: Dos triángulos con dos ángulos iguales son semejantes.
5.- RELACIONES MÉTRICAS DERIVADAS DE LA SEMEJANZA.
5.1.- CUATERNA ARMÓNICA.
Definición: Cuando dos puntos P y Q cumplen la igualdad , se dice que P y Q dividen al segmento AB armónicamente o que los cuatro puntos constituyen una cuaterna armónica.
Muchas veces se escribe la igualdad anterior de forma equivalente del siguiente modo: .
La figura sugiere la construcción del cuarto armónico Q dados los tres A, B y P. La misma construcción permite hallar P, conocidos Q, A y B.
5.2.- RECTAS ANTIPARALELAS.
Si dos rectas PM y PC secantes en P se cortan por otras 2 BA y BC respectivamente en N, A y M, C, de modo que los dos pares MN y AC estén a un mismo lado o a distinto lado de P, y que el ángulo PNA sea igual al PCM, diremos que las rectas BA y BC son antiparalelas respecto de las rectas PM y PC. También son iguales entonces los ángulos PAN y PMC como suplementarios de las sumas de los anteriores con NPA.
5.3.- RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO. TEOREMAS DEL CATETO Y DE LA ALTURA.
En el triángulo ABC rectángulo en A, la altura AH sobre la hipotenusa BC y un cateto AC, son antiparalelas respecto de los lados del ángulo formado por dicha hipotenusa y el otro cateto, por ser: recto.
Por lo tanto:
Teorema del cateto: Cada cateto de un triángulo es medio proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.
De la semejanza de los triángulos ABH y ABC, se tiene:
5.4.- CONSTRUCCIÓN DE MEDIAS PROPORCIONALES.
Los teoremas anteriores proporcionan el medio de construir un segmento x medio proporcional entre dos segmentos dados a y b, pues bastará construir un triángulo rectángulo ABC cuya hipotenusa sea BH+HC=a+b y cuyo vértice opuesto A se proyecte en H; es decir, A tiene que estar situado en la semicircunferencia de diámetro BC y en la perpendicular a BC por H. El segmento AH es el segmento medio proporcional en virtud del teorema de la altura.
5.5.- TEOREMA DE PITÁGORAS.
TEOREMA: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Demostración: Por el teorema del cateto, se tiene:
Imagen
.
5.6.- GENERALIZACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS.
Llamemos ahora a a la medida del lado BC, opuesto a un ángulo agudo en un triángulo acutángulo ABC, o el opuesto al ángulo obtuso en un triángulo obtusángulo. Tracemos por un extremo B la altura correspondiente hb y llamemos m y n a las medidas de los segmentos absolutos CH y AH que determina sobre el lado opuesto.
Sean análogamente b y c las medidas CA y AB. Se tiene:
Teorema: El cuadrado de un lado opuesto a un ángulo de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos (o más) el doble del producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
5.7.- SUMA Y DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE LOS LADOS DE UN TRIÁNGULO.
Apliquemos el teorema anterior para expresar los cuadrados de dos lados a y b (a > b) de un triangulo ABC en función de la mitad del tercer lado c y de la mediana correspondiente mc=CM.
En BMC se tiene:
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Análogamente, en MCA:
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sumando resulta:
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y restando se tiene:
.Imagen
Entonces se tiene:
- La suma de los cuadrados de dos lados es igual al doble de la suma de los cuadrados de la mitad del tercer lado y de la mediana correspondiente.
- La diferencia de cuadrados de dos de los lados es igual al doble producto del tercer lado por la distancia de su punto medio al pie de la altura correspondiente.
5.8.- LUGARES GEOMÉTRICOS DE PUNTOS CUYA SUMA O DIFERENCIA DE CUADRADOS DE DISTANCIA A DOS PUNTOS FIJOS DEL PLANO ES CONSTANTE.
Supongamos fijos los puntos A y B de la figura anterior, el punto C variable con la condición de ser constante ; esta constancia exige que mc sea constante; y recíprocamente si mc es constante lo es .
Teorema: El lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de cuadrados de distancia a dos puntos fijos del plano A, B es constante, es una circunferencia de centro en el punto medio de AB.
Para que dada la constante y los puntos A y B, exista el lugar geométrico es preciso y basta que sea:
Es decir, .
Si queremos ahora que sea constante la diferencia , deberá ser constante el segmento MH, y recíprocamente, serán puntos del lugar geométrico todos los que se proyecten ortogonalmente sobre AB en un mismo punto H.
Teorema: El lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos del plano A y B es una cantidad constante, es una recta perpendicular a AB.
6.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.
6.1.- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO.
Sabemos que dos triángulos rectángulos ABC y A’B’C’ con un mismo ángulo agudo x en el vértice B son semejantes, por tanto, las razones entre los lados de uno cualquiera de ellos son las mismas que existen entre los lados homólogos en el otro. En cambio, dichas razones varían al variar el ángulo. Podemos, pues, decir que las razones son funciones del ángulo x, y reciben el nombre y notaciones siguientes:
6.2.- RELACIONES ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN MISMO ÁNGULO
Por el teorema de Pitágoras, aplicado a la figura anterior, se tiene
Es decir:
Dividiendo las razones que definen el seno y el coseno se tiene:
.
6.3.- FUNCIONES DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS. VALORES PARTICULARES NOTABLES.
Apliquemos las razones trigonométricas al otro ángulo agudo del triángulo rectángulo antes considerado, obtenemos:
El seno, coseno y tangente de un ángulo agudo son, pues respectivamente iguales al coseno, seno y cotangente del ángulo complementario.
Valores particulares notables.
En un triángulo equilátero de lado a, tracemos la altura h, su longitud es:
y por consiguiente:
6.4.- FUNCIONES DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS:
En la figura se muestran que dos ángulos suplementarios a partir del origen OX, tienen las siguientes relaciones entre sus funciones trigonométricas:
Los senos de dos ángulos suplementarios son iguales. Los cosenos de dos ángulos suplementarios son opuestos y las tangentes de dos ángulos suplementarios son opuestas.
6.5.- OTRAS RELACIONES ENTRE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.
Relaciones entre las razones trigonométricas de dos ángulos y las de su suma y diferencia.
Supongamos colocado un triángulo OAB, como se indica en la figura, es decir, con el vértice de uno de los ángulos b, en el origen O de in sistema cartesiano rectangular, y de tal modo que el cateto OA forme con el eje OX, por ejemplo, un ángulo agudo, a, y que el ángulo b se sume con el a.
Razones trigonométricas del ángulo doble.
Si en las fórmulas anteriores se supone a=b, se obtiene:
La fórmula de cos 2a permite obtener dos formulas bastantes útiles en muchos casos que son:
y dividiendo:
Razones trigonométricas del ángulo mitad.
En las fórmulas anteriores suponiendo α=2a, se tiene:
Transformación de sumas de razones trigonométricas en productos.
Es fácil ver que se cumple:
7.- CONCLUSIÓN.
Dentro de la proporcionalidad hemos visto un concepto importante que es el Teorema de Thales, teorema bastante importante en las relaciones trigonométricas, también expuestas en este tema.
Dentro de la semejanza, se ha expuesto el concepto de triángulos semejanzas y los criterios de semejanza de triángulos.
Dentro de las relaciones de semejanza, se han desarrollado varios conceptos como son: cuaterna armónica, rectas antiparalelas, algunos teoremas importantes de los triángulos y relaciones trigonométricas.
8.- ORIENTACIONES PARA LA ELABORACIÓN DE LOS ASPECTOS DIDÁCTICOS.
1. Curso en que se explicaría.
El tema se aborda, con diferencias en el grado de profundización, tanto en cuarto de ESO como en primero de Bachillerato, en las modalidades de Ciencias de la Naturaleza y la Salud y en Ciencias Sociales. Situamos los aspectos didácticos en secundaria.
2. Objetivos generales.
– Conocer las cinco principales identidades trigonométricas que relacionan entre sí las razones.
– Identificación de la semejanza entre figuras planas.
– Conocer el enunciado del Teorema de Thales.
– Definir las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo. Representación en la circunferencia unidad.
3. Contenidos conceptuales.
– Ángulos y su medida.
– Identidades trigonométricas.
– Razones trigonométricas de ángulos notables.
– Ángulos en el triángulo.
– Semejanza de triángulos.
– Teoremas del triangulo rectángulo.
– Teorema de Thales.
– Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.
4. Contenidos procedimentales.
– Aplicar el teorema de Thales en la resolución de problemas geométricos y de la vida real.
– Utilizar criterios de semejanza de triángulos en distintos contextos para resolver problemas.
– Calcular las razones de un ángulo de forma gráfica a partir de una razón dada y mediante la calculadora.
– Utilizar la relación fundamental de la trigonometría en la resolución de problemas.
– Resolver triángulos rectángulos en los que se conoce dos lados o bien un lado y un ángulo.
– Utilizar la trigonometría para resolver problemas geométricos y de la vida real.
– Determinar si dos polígonos dados son o no semejantes y obtener su rabón de semejanza.
– Construir una figura semejante a otra dada.
– Pasar de grados a radianes y viceversa.
– Reconocer las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera y su signo según el cuadrante.
5. Temporalización.
Dedicaremos alrededor de tres semanas al tema, que se debe complementar con el estudio de la trigonometría plana.
6. Actividades.
– Dividir un segmento en partes iguales para representar números racionales.
– Determinación de medidas de ángulos. Pasar de grados a radianes y viceversa.
– Identificación de figuras semejantes.
– Hallar todas las razones trigonométricas de un ángulo, conocida una de ellas.
– Comprobar identidades trigonométricas.
– Dibujar un ángulo conocida una de sus razones trigonométricas.
– Resolver triángulos rectángulos conociendo algunos de sus elementos.
9. Bibliografía.
Grupo Beta. Proporcionalidad geométrica y semejanza. Editorial Síntesis.
Geometría. Pérez Beato.
Moise. Elementos de Geometría Superior.
Geometría métrica. Puig Adam.
Hilbert. Fundamentos de la Geometría.
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